СИСТЕМИ РІВНЯНЬ ВІД ДАВНИНИ ДО СЬОГОДЕННЯ

Гуменюк Інна Володимирівна

 Студентка 5 курсу Національного педагогічного університету  імені М.П.Драгоманова, м. Київ, спеціальності «Математика, інформатика та адміністрування навчальних комп’ютерних систем».

Науковий керівник: к. ф.-м. н., доц. Верпатова Н.Ю.

Е-mail: innahv@ukr.net

Відомості про перші етапи розвитку алгебри мізерні та суперечливі. Точка зору на те, що таке алгебра неодноразово змінювалася. В різні часи під алгеброю розуміли різні вчення: про рівняння, про системи рівнянь, про алгебраїчні структури [2, c. 42].

Алгебра виникла  з розв’язанням практичних задач які зводилися до рівнянь та систем рівнянь. Вчення про рівняння та системи рівнянь є  однією з головних ліній шкільного курсу алгебри і у наш час. Глейзер Г.І. відмічає, що задачі на складання і розв’язування системи рівнянь першого степеня з двома невідомими зустрічаються у вавилонських та єгипетських текстах ІІ ст. до н.е, в працях давньогрецьких, індійських та китайських вчених [1].

Герш Ісакович Глейзер - молдавський радянський математик, педагог та історик математики, кандидат педагогічних наук. Автор навчальних посібників і довідників з історії математики, переведених на кілька іноземних мов.

Найдавнішими джерелами на початку ІІ ст. до н.е., які свідчать про зародження алгебри в давні часи, є Вавилонські глиняні дощечки. В них містяться  багато задач, що розв’язуються за допомогою повних квадратних рівнянь і систем лінійних та квадратних рівнянь з двома змінними.  Характерною ознакою алгебри вавилонян є виділення і використання «канонічних» чи «стандартних» рівнянь і систем рівнянь, що розв’язувалися за готовими  формулами [2].

Про високий рівень розвитку алгебри в давньому Китаї свідчить широке використання тотожних перетворень, наведення різних способів розв’язування рівнянь та систем рівнянь у математичних творах. В VII-VIII  книгах китайського трактату «Математика в дев’яти книгах» розглядаються системи рівнянь та наводяться короткі правила їх розв’язання. Коефіцієнти системи рівнянь розміщували на рахунковій дошці у вигляді таблиці – прообраз сучасної матриці, а потім поступово перетворювали цю таблицю способом, що нагадує дії над стовпчиками матриць у сучасному вигляді. Послідовне виключення невідомих приводило до обчислення розв’язків системи. Пізніше цей метод було заново відкрито в Європі, він дістав назву методу Гаусса чи методу послідовного виключення невідомих [2].

Найбільшим досягненням китайських математиків у розв’язуванні задач, які приводять до системи n лінійних рівнянь з n невідомими, є спосіб «фан-чен», викладений у «Математиці в дев’яти книгах» (кн. VIII). Він близький до методу визначників. Найстародавніший математичний трактат «Математика в дев’яти книгах» зредагував фінансовий чиновник Чжан Цан (пом. 150 р. до н.е). Книга призначалась для землемірів, інженерів, чиновників, торгівців. У трактаті зібрано 246 задач. В книзі спочатку формулюється умова задачі, потім дається відповідь і стисла вказівка щодо способу розв’язування. Деякі задачі присвячені системам лінійних рівнянь з двома змінними, системам n рівнянь з n змінними, які розв’язуються способом «фан-чен» (буквально – вистроювання чисел по клітинках) [3, c.81].

Трактат китайського математика Суня-цзи (III ст.)  містив математичні таблиці, арифметичні задачі на складання системи лінійних рівнянь [3, c.80].

Задача  Сунь-Цзи:

Два чоловіки А і Б одержали деяку кількість монет, які треба розподілити між ними так, що коли до монет А додати половину монет Б , або до монет Б додати 2/3 монет А, то в обох випадках дістанемо 48. Скільки монет одержав кожний чоловік?

Розв’язання. Якщо позначити кількість монет А через х, а кількість монет Б- через у, то задача зводиться до розв’язування системи рівнянь:

1.      /2=48,

2/3+=48.

Звідки =36, =24.

Вершиною розвитку індійської математики є праця відомого математика і астронома Бхаскари «Вінець системи» (1150 р.). В цій праці викладені методи розв’язування системи нелінійних рівнянь та окремих рівнянь 3 і 4 степенів.

В давнину задачі, які ми зараз відносимо до алгебри, формулювалися, записувалися і розв’язувалися зовсім не так, як це звично для нас. Вирази для спрощення та рівняння подавалися спочатку в словесній формі, а пізніше за допомогою громіздкої символіки [1, c.72].

Серед них індійська задача (Магавіра, IX ст.):

Під час бою півнів один з глядачів домовився з двома власниками півнів. Першому він сказав: «Якщо переможе твій півень, то виграш віддаси мені, якщо ж програє, то я сплачу тобі 2/3 твого можливого виграшу». Другому учаснику він сказав: «Якщо переможе твій півень, то виграш віддаси мені, якщо ж програє, то я сплачу тобі 3/4 можливого виграшу». В обох випадках глядач одержить 12 монет. Яким мав бути виграш кожного учасника бою?

Розв’язання. Позначивши через х і у виграші кожного з партнерів, дістанемо систему:

  Звідки: х = 42, у = 40  [1, c.73].

На подальший розвиток алгебри сильний вплив мали задачі, досліджувані Діофантом Олександрійським, що приводять до складних систем алгебраїчних рівнянь, в тому числі до систем, де кількість рівнянь була меншою від кількості невідомих. Діофант Александрійський  (між 200 та 214 рр. — між 284 та 298 рр.) — давньогрецький математик, жив в III столітті в Александрії. Діофантовими рівняннями  в наш час називають алгебраїчні рівняння з раціональними коефіцієнтами, для яких вимагається  визначити розв’язки у цілих або раціональних числах. Як правило, діофантові рівняння містять більше однієї невідомої величини, у зв’язку з чим їх ще називають невизначеними рівняннями.

Першим великим самостійним досягненням західноєвропейських вчених було відкриття в ХVI ст. формули для розв’язання кубічного рівняння. Це було заслугою італійських алгебраїстів Сципіон дель Ферро, Нікколо Тарталья і Джіроламо Кардано. 

Ніколо Тарталья (прибл. 1499-1557 р.р.) був відомим математиком епохи Відродження. Справжнє імя вченого Ніколо Фонтана. Ніколо ріс в бідності й знання здобував самостійно. Досі ведуться суперечки: хто є автором формули Кардано? Факти свідчать, що Тарталья передав її своєму учневі Кардано у зашифрованому вигляді. І саме ці дослідження  проложили головну стежку на дорозі, по якій в подальшому стала розвиватися алгебра.

Подальшого розвитку алгебра як наука здобула в роботах Рене  Декарта. Йому  вдалося звільнити алгебру від невластивої їй геометричної форми. Все це дозволило розглядати питання розв’язування рівнянь в самому загальному вигляді, застосовувати рівняння до розв’язування геометричних задач. Наприклад, задача про знаходження точки перетину двох прямих звелася до розв’язування системи рівнянь, яким б задовольняли точки цих прямих. Такий метод розв’язання геометричних задач отримав назву аналітичної геометрії [2].

Рене́ Дека́рт — французький філософ, фізик, фізіолог, математик. У математиці Декарт запровадив Декартову систему координат, дав поняття змінної величини і функції, ввів багато алгебраїчних позначень. У фізиці він сформулював закон збереження кількості руху, запровадив поняття імпульсу сили. Декарт — автор методу радикального сумніву в філософії, механіцизму у фізиці.

Однією із проблем алгебри XVIII-XIX ст. є теорія системи алгебраїчних рівнянь з багатьма невідомими. Над нею працювали Г. Лейбніц, К. Маклорен, Г. Крамер, А. Вандермонд, П. Лаплас, К. Гаусс та інші. Вона розвивалась паралельно з проблемою доведення основної теореми алгебри і розв’язування в радикалах алгебраїчних рівнянь степеня вищого за четвертий [2, c. 66].

Найбільший внесок в загальну теорію розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь зробили К. Гаусс та Г. Крамер. Найбільш відома з робіт Крамера - його трактат «Вступ до аналізу алгебраїчних кривих» (1750 р.). В ньому вперше доводиться, що алгебраїчна крива n-го порядку в загальному випадку повністю визначена, якщо задані її n(n+3)/2 точок. Для доведення Крамер будує систему лінійних рівнянь і розв’язує її за допомогою алгоритму, який пізніше отримав його ім’я: метод Крамера.

Крамер розглядав систему лінійних рівнянь з квадратною матрицею. Розв’язок системи він представив у вигляді стовпця дробів з спільним знаменником - визначником матриці. Термін «визначник»  ввів Гаусс в 1801р.

Карл Фрідріх Гаусс - талановитий учений, увіковічив своє ім’я значними відкриттями в теорії чисел, алгебрі, геометрії, обчислювальній математиці, дав прекрасні зразки застосування математичних методів у астрономії, механіці, картографії, геодезії. З його ім’ям пов’язані фундаментальні дослідження майже в усіх основних областях математики, так, наприклад, свою докторську дисертацію він присвятив доведенню основної теореми алгебри (1799 р.). Пізніше він неодноразово повертався до цієї теореми і в 1815, 1816 і 1849 роках дав ще три її доведення. Все  це лягло в основу формування нової галузі алгебри – лінійної алгебри [3, с. 144].

У XVIII ст. в алгебрі основні зусилля математиків були спрямовані на розв’язання трьох проблем: 1) доведення основної теореми алгебри; 2)розв’язування в радикалах алгебраїчних рівнянь степеня вищого за четвертий; 3) розв’язування систем алгебраїчних рівнянь з кількома невідомими. Дослідження системи лінійних рівнянь спричинило виникнення таких понять як визначник і матриця. Основи теорії визначників закладено в роботах Г. Крамера, їх строга дедуктивна теорія побудована О. Коші в 1815 р., а з 40-х років XIX ст. вони стають універсальним інструментом в алгебрі й аналізі [2, c.66]. Надзвичайно плідною була творчість Огюстена Луї Коші. Йому належить понад 800 праць з математичного аналізу, математичної фізики, теорії чисел, алгебри, теоретичної механіки [3, с.145].

 З часом відбувається відокремлення понять матриця і визначник. Остаточно це відокремлення відбулося в роботах А.Келі та Д.Сільвестера, які розвивали ідеї матричної теорії з 1843р. Всі ці теорії пізніше лягли в основу формування нової галузі алгебри – лінійної алгебри [2, c.66].

На початку XIX ст. єдиним слов’янином, який творив із славною когортою західноєвропейських учених основи сучасної математики, фізики і механіки, був Михайло Васильович Остроградський – славетний український математик, видатний вчений, талановитий педагог і прогресивний реформатор математичної освіти [2, c. 236].

Більшість теорем і формул Остроградського увійшли в різні математичні курси. Близько третини його праць - це дослідження з механіки. Надзвичайно чудовим методом він  вивів рівняння поширення теплоти в рідинах.

Вивченню лінійних просторів та їх лінійних перетворень присвячено інший розділ алгебри – лінійна алгебра, частиною якої стали сформовані ще в XIX столітті теорія лінійних рівнянь та теорія матриць. Близькою до лінійної алгебри є полілінійна алгебра [2, c.68].

У 1834 р. відкрито Київський університет. Навчальні курси читались а тогочасному науковому рівні, орієнтувались на досягнення найкращих вітчизняних і зарубіжних авторів – М. Остроградського, Ж. Лагранжа,          Ж Фур’є , О Коші. Проводились окремі дослідження, які потім захищались як дисертації: про особливі розв’язки диференціальних рівнянь (М. А. Дяченко) [2, c.247].

Михайло Єгорович Ващенко-Захарченко, вихованець Київського університету, читав різноманітні курси. Його науковий інтерес був зосереджений на праці «Символічне числення і застосування його до інтегрування лінійних диференціальних рівнянь» (магістерська дисертація, 1862 р.). Він підготував і видав 12 навчальних посібників з різних математичних предметів, зокрема з історії математики, які використовували кілька поколінь студентів [2, c.248].

У 1865р. на базі Рішельєвського ліцею був відкритий Новоросійський (Одеський) університет. Одразу після відкриття в ньому розгорнулась активна науково-методична робота. Провідним викладачем у перший період існування університету був професор С.П. Ярошенко. Він досліджував методи знаходження особливих розв’язків звичайних диференціальних рівнянь і рівнянь у частинних похідних першого порядку, теорію визначників [2, c.248].

У 1918 р. було  створено Українську академію наук,  яка виховала видатного алгебраїста Б.Делоне. Праці Б.Делоне знаходяться на межі алгебри, геометрії та теорії чисел. Він дав повне завершення теорії бінарних кубічних рівнянь з від’ємним дискримінантом і показував, як за допомого «алгоритму підвищення» можна практично в цілих числах розв’язувати будь-яке рівняння такого виду [2, c. 253].

На початку 40-х років XX ст.. у галузі алгебри і теорії чисел плідно працювали Д.А Гване, М.Г.Крейн, М.П.Кравчук; у загальній теорії диференціальних рівнянь – Г.І.Пфейффер, М.П.Кравчук, Ю.Д.Соколов [2, c. 255].

Учень Д.А.Гване М.П.Кравчук працював у галузі математичного аналізу, алгебри, теорії лінійних перетворень, теорії ймовірності і математичної статистики. У його творчому доробку – розвиток математичної термінології, праці в історії математики, методики навчання математики, десятки підручників і навчальних програм для середньої та вищої школи, організація перших в Україні математичних олімпіад [2, c. 254].

Література:

1. Глейзер Г.И. История математики в школе – М.: Просвещение, 1964. - 375с.

2. Бевз В. Г. Практикум з історії математики : Навч. посіб. для студентів фіз.-мат. факультетів пед. університетів / В. Г. Бевз. – К. : НПУ ім. М.П.Драгоманова, 2004. – 312с.

3. Конфорович А. Г. Визначні математичні задачі. – К.: Рад. школа, 1981.- 189 с.